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自动做市商协议基础 #

交易对定义 #

交易对包括两种不同的可以相互交换的数字资产，这里分别用 TokenAToken A 和 TokenBToken B 表示。在创建交易对时，用户需要按照实际市场价格存入一定数量的价值相等的 TokenAToken A 和 TokenBToken B 。如果创建交易对的价格偏离市场价格，交易对创建者会被套利，从而蒙受损失。

假设 PAP_{A} 、PBP_{B} 分别为 TokenAToken A 、TokenBToken B 以任一法币计价的价格，定义 PA→BP_{A\rightarrow B} 为 TokenAToken A 兑换为 TokenBToken B 的价格，即与 1 TokenA1\ Token A 等值的 TokenBToken B 的数量：

PA→B=PAPB(1.1.1)P_{A \rightarrow B} = \frac{P_A}{P_B} \tag{1.1.1}

同样，定义 PB→AP_{B \rightarrow A} ，即 TokenBToken B 兑换为 TokenAToken A 的价格：

PB→A=PBPA(1.1.2)P_{B \rightarrow A} = \frac{P_B}{P_A} \tag{1.1.2}

理论上，不考虑市场交易成本，则存在下列关系：

PA→B∗PB→A=1(1.1.3)P_{A \rightarrow B} * P_{B \rightarrow A} = 1 \tag{1.1.3}

假设 NAN_A 、NBN_B 分别为交易对内部任一时刻两种数字资产 TokenAToken A、 TokenBToken B 的数量，该交易对可表示为：

(NA ∣ NB)(1.1.4)(N_A \ | \ N_B) \tag{1.1.4}

交易对总是认为两种内部资产一直保持相等的市场价值，即存在下列相互等价的关系：

NA∗PA=NB∗PB(1.1.5)N_A * P_{A} = N_B * P_{B} \tag{1.1.5}
NA=NB∗PB→A(1.1.6)N_A = N_B * P_{B \rightarrow A} \tag{1.1.6}
NB=NA∗PA→B(1.1.7)N_B = N_A * P_{A \rightarrow B} \tag{1.1.7}
PA→B=NBNA(1.1.8)P_{A \rightarrow B} = \frac{N_B}{N_A} \tag{1.1.8}
PB→A=NANB(1.1.9)P_{B \rightarrow A} = \frac{N_A}{N_B} \tag{1.1.9}

恒定资产乘积 #

在交易对中进行资产兑换时，由于无法取得外部 TokenAToken A 和 TokenBToken B 的市场价格，需要设计一个兑换机制，确定 TokenAToken A 和 TokenBToken B 兑换比例关系。自动做市商 (Automated Market Maker，AMM) 类型的去中心化交易所 (DEX)，采用 “资产恒定乘积” 公式[1] 确定兑换交易发生前后交易对中资产数量的变化，也即用户兑入、兑出资产的数量；

对于交易对 (NA ∣ NB)(N_A\ | \ N_B ) ，"恒定资产乘积" 公式可表示为：

NA∗NB=K(1.2.1)N_A * N_B=K \tag{1.2.1}

其中，KK 值只在用户向交易对中存入流动性资产，或者从交易对中取回流动性资产时才会发生变化，在用户兑换资产的交易过程中保持恒定不变。

假设有一笔兑换交易，用户用 TokenAToken A 兑换 TokenBToken B ，兑入的 TokenAToken A 的数量为 ΔA\mathrm{\Delta}_{A} ，兑出的 TokenBToken B 的数量为 ΔB\mathrm{\Delta}_{B} 。（为表述方便，这里的 “兑入”、“兑出” 是相对交易对而言的，如果相对用户而言，“兑入”、“兑出” 关系则完全相反）。依据 "恒定资产乘积" 公式，有：

(NA+ΔA)∗(NB−ΔB)=(NA∗NB)(1.2.2)( N_A + \mathrm{\Delta}_A ) * (N_B - \mathrm{\Delta}_B ) = ( N_A * N_B ) \tag{1.2.2}
ΔB=ΔANA+ΔA∗NB(1.2.3)\mathrm{\Delta}_B = \frac{\mathrm{\Delta}_A}{N_A + \mathrm{\Delta}_A} * N_B \tag{1.2.3}

可以看到，兑换交易发生前、兑换交易发生后、以及兑换交易实际发生的价格是3个不同的价格。

兑换交易发生前，交易对内的资产价格（表示为 PA→B0P_{A \rightarrow B}^{0}）为：

PA→B0=NBNA(1.2.4)P_{A \rightarrow B}^{0} = \frac{N_B}{N_A} \tag{1.2.4}

兑换交易实际发生的资产价格（表示为 PA→B1P_{A \rightarrow B}^{1}）为：

PA→B1=ΔBΔA=NBNA+ΔA(1.2.5)P_{A \rightarrow B}^{1} = \frac{\mathrm{\Delta}_B}{\mathrm{\Delta}_A} = \frac{N_B}{N_A + \mathrm{\Delta}_A} \tag{1.2.5}

兑换交易发生后，交易对内的资产价格（表示为 PA→B2P_{A \rightarrow B}^{2}）为：

PA→B2=NB−ΔBNA+ΔA(1.2.6)P_{A \rightarrow B}^{2} = \frac{N_B - \mathrm{\Delta}_B}{N_A + \mathrm{\Delta}_A} \tag{1.2.6}

显而易见：

PA→B0>PA→B1>PA→B2(1.2.7)P_{A \rightarrow B}^{0} > P_{A \rightarrow B}^{1} > P_{A \rightarrow B}^{2} \tag{1.2.7}

即兑入资产 TokenAToken A 相对于兑出资产 TokenBToken B 的价格，在兑换交易发生后，发生了滑动。兑换交易发生前交易对内 TokenAToken A 的价格，高于用户兑换交易实际发生的价格，而用户兑换交易实际发生的价格，又高于兑换完成后交易对内 TokenAToken A 的价格。即兑换交易完成后，交易对内 TokenAToken A 相对于 TokenBToken B 的价格发生了下跌，相应地，TokenBToken B 的相对价格产生了上涨。

交易套利 #

兑换交易是在交易区块确认的瞬间发生的，兑换交易发生前后，TokenAToken A 和 TokenBToken B 的外部市场价格不会发生变化。由于 "恒定资产乘积" 约束，导致交易价格产生滑动，会使用户蒙受一定的兑换交易损失，以 TokenBToken B 计价的兑换损失计算如下：

LostA→B=ΔA∗NBNA−ΔA∗NBNA+ΔA=ΔA∗NBNA/(1+NAΔA)(1.3.1)\begin{aligned} Lost_{A \rightarrow B} &= \mathrm{\Delta}_A * \frac{N_B}{N_A} - \mathrm{\Delta}_A * \frac{N_B}{N_A + \mathrm{\Delta}_A} \\[3mm] &= \mathrm{\Delta}_A * \frac{N_B}{N_A} \Large{/} \normalsize ( 1 + \frac{N_A} {\mathrm{\Delta}_{A}} ) \end{aligned} \tag{1.3.1}

可见用户兑入Token A的比列 (ΔA/NA)(\mathrm{\Delta}_{A} / N_A) 越大，蒙受的兑换损失也会越大。

该交易完成后，如果另一用户进行逆向兑换，不考虑交易费用，根据 "恒定资产乘积" 公式，他只要兑入数量为 ΔB\Delta_B 的 TokenBToken B ，即可获得数量为 ΔA\Delta_A 的 TokenAToken A ，交易完成后，交易对内资产价格恢复为初始价格 PA→B=NB/NAP_{A \rightarrow B} = N_B/N_A 。即该用户以相对于 TokenAToken A 较高的 TokenBToken B 的价格完成交易，实现了对前一用户兑换损失的套利，套利金额等于前一用户的兑换损失。

无常损失 #

流动性资金提供者在提供流动性时，需要向交易对中注入两种总价值相等的相应数量的代币，随着交易的发生，用户提供流动性获得的权益所对应的代币数量会发生变动。假设用户初始投入 TokenAToken A 的数量为 XAX_{A} ，当用户退出流动性时，如果 TokenAToken A 的市场价格相对于 TokenBToken B 发生了上涨，则用户得到的 TokenAToken A 的数量 X′A{X'}_{A} 可能会小于 XAX_{A}，如果提供流动性获得的交易手续费等收入不足以弥补 TokenAToken A 数量减少造成的损失，则流动性提供者相对于一直持有 TokenAToken A 、TokenBToken B，而不是为交易对提供流动性资金服务，会蒙受一定的损失。实际上，无论 TokenAToken A、TokenBToken B的价格是上涨还是下跌，只要他们的价格比相对于用户提供流动性时发生了偏离，用户都会蒙受损失。该损失大小完全由市场价格变化决定，用户无法控制，也被称为 "无常损失"[5]。

下面以 TokenBToken B 作为价格基准，在不考虑交易手续费收入的情况下，对无常损失进行定量分析。

假设用户初期投入交易对的代币数量为 (XA∣YB)(X_{A}|Y_{B}) ，TokenAToken A 相对于 TokenBToken B 的价格为 P1P_1，期末用户撤出交易对的代币数量为 (XA′∣YB′)(X'_A | Y'_B)，TokenAToken A 相对于 TokenBToken B 的价格为 P2P_2，如果用户没有为交易池提供流动性，而是简单持有 (XA∣YB)(X_{A}|Y_{B}) 代币，期末价值为：

V1=XA∗P2+YB(1.4.1)V_1=X_A*P_2+Y_B \tag{1.4.1}

由于用户为交易池提供流动性，实际拥有 (XA′∣YB′)(X'_{A}|Y'_{B}) 代币的价值为：

V2=XA′∗P2+YB′(1.4.2)V_2=X'_A*P_2+Y'_B \tag{1.4.2}

考虑到：

{XA∗YB=XA′∗YB′P1=YB/XAP2=YB′/XA′(1.4.3)\left\{ \begin{matrix} \begin{aligned} X_A * Y_B &= X'_A * Y'_B \\ P_1 &= Y_B / X_A \\ P_2 &= Y'_B / X'_A \\ \end{aligned} \end{matrix} \right. \tag{1.4.3}

则有[6]：

V2V1= 2P1∗P2 P1+P2=4P1P2(P1−P2)2+4P1P2≤1(1.4.4)\begin{aligned} \frac{V_2}{V_1} &= \frac{\ 2\sqrt{P_1*P_2}\ }{P_1+P_2} \\[3mm] &= \sqrt{\frac{4P_{1}P_{2}}{( P_{1} - P_{2} )^{2} + 4P_{1}P_{2}}} \leq 1 \end{aligned} \tag{1.4.4}

可见只要 P1≠P2P_1 \neq P_2，V2V_2 就总是小于 V1V_1，即用户以 TokenBToken B 计价的总资产价值相对于简单持有两种代币，一定是减少的。同理用户以 TokenAToken A 计价的总资产价值相对于简单持有两种代币也一定是减少的。

所以所谓的无常损失（Impermanent Loss）实际上是一定会发生的永久损失（Permanent Loss），只是该损失金额会随着价格的变动而变动。