Skip to main content

套利机制收益分析 #

套利收益分析 #

为简化计算，这里假设 FreeSwap 交易及套利过程如下：

  1. AA 池、BB 池初始具有相同数量的两种代币，其数量分别用 XX, YY表示；

  2. 用户在 AA 池内用数量为 xx 的 TokenAToken A , 兑换数量为 yy 的 TokenBTokenB , 导致 AA 池资产价格产生滑动，滑动幅度为 γ\gamma , 触发 AA 池、BB 池发生套利操作；

  3. 套利完成后，AA 池、BB 池的代币数量变为 (X+x1′ , Y−y1′)(X+x'_1\ ,\ Y-y'_1) 及 (X+x2′ , Y−y2′)(X+x'_2\ ,\ Y-y'_2)；

交易及套利过程的交易池状态及其 TokenToken 数量变化，如下表所示：

子交易池A 池B 池
交易池状态:(NAA , NB)(N_{AA}\ ,\ N_B)(NA , NBB)(N_A\ ,\ N_{BB})
初始代币数量:(X , Y)(X\ ,\ Y)(X , Y)(X\ ,\ Y)
兑换交易后代币数量:(X + x , Y − y)(X\ +\ x\ ,\ Y\ -\ y)(X , Y)(X\ ,\ Y)
套利完成后代币数量:(X + x1′ , Y − y1′)(X\ +\ x'_1\ ,\ Y\ -\ y'_1)(X + x2′ , Y − y2′)(X\ +\ x'_2\ ,\ Y\ -\ y'_2)

根据 "恒定资产乘积" 公式，有：

(X+x)∗(Y−y)=X∗Y(X+x)*(Y-y) = X*Y
y=xX+x∗Y(3.2.1)y = \frac{x}{X+x} * Y \tag{3.2.1}

根据 (2.4.19)(2.4.19) 中的套利触发条件，有：

(X+x)∗Y=γ∗X∗(Y−y)(X+x)*Y = \gamma * X* (Y-y)
x=(γ−1)∗X(3.2.2)x = (\sqrt{\gamma} -1 )* X \tag{3.2.2}

根据 (3.1.3)(3.1.3) 和 (3.1.6)(3.1.6)，子交易池套利后的最大 KK 值增加为：

ΔKAM=ΔKBM=((X+x)∗Y−X∗(Y−y))24∗(X+(X+x))∗((Y−y)+Y)=(x∗Y+y∗X)24∗(2X+x)∗(2Y−y)=(γ−1)24γ∗X∗Y(3.2.3)\begin{aligned} \Delta K_A^M = \Delta K_B^M &= \frac{((X+x)*Y-X*(Y-y))^2}{4*(X+(X+x))*((Y-y)+Y)} \\[3mm] &= \frac{(x*Y+y*X)^2}{4*(2X+x)*(2Y-y)} \\[3mm] &= \frac{(\sqrt{\gamma}-1)^2}{4\sqrt{\gamma}}*X*Y \end{aligned} \tag{3.2.3}

套利后，AA 池、BB 池的 KK 值增加比例为：

δKA=δKB=(γ−1)24γ(3.2.4)\delta K_A = \delta K_B = \frac{(\sqrt{\gamma}-1)^2}{4\sqrt{\gamma}} \tag{3.2.4}

根据 (2.4.19)(2.4.19)，可以计算得出套利操作在子资金池之间相互交换的代币金额如下：

LAe =  x 2(3.2.5)L_A^e \ = \ \frac{\ x \ }{2} \tag{3.2.5}
LBe = x2(X+x)∗Y=  y 2(3.2.6)L_B^e \ = \ \frac{x}{2(X+x)} * Y = \ \frac{\ y \ }{2} \tag{3.2.6}

可见套利完成后，两个子资金池的代币数量变为：

(X+ x 2 , Y− y 2)  ∣∣  (X+ x 2 , Y− y 2)(3.2.7)(X + \frac{\ x\ }{2}\ ,\ Y - \frac{\ y \ }{2} ) \ \ || \ \ (X + \frac{\ x\ }{2}\ ,\ Y - \frac{\ y \ }{2} ) \tag{3.2.7}

即两个子资金池的代币数量相等，达到完全的平衡。

上述分析，是基于 AA 池、BB 池的资金量完全相同的假设进行的，下面分析一下，如果 AA 池、BB 池的资金量不同，按照 FreeSwap 协议套利后， AA 池、BB 池的 KK 值增加比例。

此时，交易池状态及套利过程的 TokenToken 数量变化，可如下表所示：

子交易池A 池B 池
交易池状态:(NAA , NB)(N_{AA}\ ,\ N_B)(NA , NBB)(N_A\ ,\ N_{BB})
初始代币数量:(X1 , Y1)(X_1\ ,\ Y_1)(X2 , Y2)(X_2\ ,\ Y_2)
兑换交易后代币数量:(X1 + x1 , Y1 − y1)(X_1\ +\ x_1\ ,\ Y_1\ -\ y_1)(X2 , Y2)(X_2\ ,\ Y_2)
套利完成后代币数量:(X1 + x1′ , Y1 − y1′)(X_1\ +\ x_1'\ ,\ Y_1\ -\ y_1')(X2 + x2′ , Y2 − y2′)(X_2\ + \ x_2'\ ,\ Y_2\ - \ y_2')

假设 AA 池、BB 池的资金比例用 β\beta 表示 , 则存在下面关系：

{Y1X1=Y2X2X2∗Y2X1∗Y1=β(X1+x1)∗(Y1−y1)=X1∗Y1(X1+x1)∗Y2=γ∗X2∗(Y1−y1)(3.2.8)\left\{ \begin{array}{ccl} &\Large \frac{Y_1}{X_1} \normalsize = \Large \frac{Y_2}{X_2} \\[3mm] &\Large \frac{X_2*Y_2}{X_1*Y_1} \normalsize = \beta \\[3mm] &(X_1 + x_1) * (Y_1 - y_1) = X_1 * Y_1 \\[3mm] &(X_1 + x_1) * Y_2 = \gamma * X_2 * (Y_1 -y_1) \tag{3.2.8} \end{array} \right.

略去推导过程，经过计算可得：

ΔKAM=ΔKBM=(γ−1)24γ(γ+1β)(1γ+1β)∗X1∗Y1(3.2.9)\Delta K_A^M = \Delta K_B^M = \frac{(\gamma-1)^2}{4\gamma \Large (\normalsize\sqrt{\gamma} + \Large \frac{1}{\sqrt{\beta}})(\frac{1}{\sqrt{\gamma}} \normalsize + \Large \frac{1}{\sqrt{\beta}})} * X_1 * Y_1 \tag{3.2.9}

套利后，AA 池、BB 池的 KK 值增加比例为：

δKA=(γ−1)24γ(γ+1β)(1γ+1β)(3.2.10)\delta K_A = \frac{(\gamma-1)^2}{4\gamma \Large (\normalsize\sqrt{\gamma} + \Large \frac{1}{\sqrt{\beta}})(\frac{1}{\sqrt{\gamma}} \normalsize + \Large \frac{1}{\sqrt{\beta}})} \tag{3.2.10}
δKB=(γ−1)2  4γ(βγ+1)(β+γ)   (3.2.11)\delta K_B = \frac{(\sqrt{\gamma}-1)^2}{\ \ 4\sqrt{\gamma}(\sqrt{\beta\gamma}+1)(\sqrt{\beta}+\sqrt{\gamma}) \ \ \ } \tag{3.2.11}

由 (3.2.10)(3.2.10)、(3.2.11)(3.2.11) 可见，δKA\delta K_A 随 β\beta 单调上升，而 δKB\delta K_B 随 β\beta 单调下降，这意味着，在两个子资金池资金量不平衡的情况下，资金池的资金量相对于另一个资金池越大，套利时，KK 值增加比例就越小，相反，资金池的资金量相对越小，套利时的 KK 值增加比例就越大。

因此，用户在加入流动性时，选择加入资金量较小的子资金池，会更为有利。这一内在调节机制可以使得 FreeSwap 交易协议的两个子交易池的资金量达到动态平衡。

等效交易费率 #

如果不是通过交易套利，而是通过收取交易手续费的方式，要取得与 (3.2.4)(3.2.4) 相同的 KK 值增加比例，交易手续费费率需要如何设置呢？

为表述方便，该交易费率用 α\alpha 表示。由于 FreeSwap 协议设有两个独立的单向交易资金池，考虑等效性，计算 α\alpha 时，应当考虑相同资金规模的单一双向交易池，该交易池可表示为：(2X,2Y)(2X,2Y) 。用户利用与 (3.2.2)(3.2.2) 相同的数量为 xx 的 TokenAToken A 换取一定数量的 TokenBToken B，设该数量为 y′y'，根据 “恒定资产乘积” 公式，有：

(2X+(1−α)x)∗(2Y−y′)=2X∗2Y(3.3.1)(2X+(1-\alpha)x) * (2Y-y') = 2X*2Y \tag{3.3.1}

交易完成后，由于收取的交易手续费未参与交易而是直接进入了资金池，导致整体资金池的 KK 值增加，该增加值为：

ΔK=αx∗(2Y−y′)=αx∗2X∗2Y2X+(1−α)x(3.3.2)\begin{aligned} \Delta K &= \alpha x *(2Y-y') \\ &= \alpha x * \frac{2X*2Y}{2X+(1-\alpha)x} \end{aligned} \tag{3.3.2}

相对于兑换交易发生前，整个资金池的 KK 值增加比例为：

δK=αx2X+(1−α)x(3.3.3)\delta K = \frac{\alpha x}{2X+(1-\alpha)x} \tag{3.3.3}

结合 (3.2.2)(3.2.2)、(3.2.4)(3.2.4)，令 δK=δKA\delta K = \delta K_A ，有：

α=γ−1γ+1(3.3.4)\alpha = \frac{\sqrt{\gamma}-1}{\sqrt{\gamma}+1} \tag{3.3.4}

计算可得, 当 γ\gamma = 1.01 时，α≈\alpha ≈ 2.488‰ , 即如果两个子交易池的价格偏离达到 1% 时，自动进行套利操作，资金池提供者的收益等价于收取交易用户 2.488‰ 的交易手续费。目前, UniSwap[3] 收取交易用户 3‰ 的交易手续费，FreeSwap 通过交易套利可以实现 UniSwap 大约 83% 的收益。考虑到 FreeSwap 协议能够为用户提供免费交易服务，可以吸引更多的交易用户，提升交易量，通过交易量的提升，在完全免除交易手续费的情况下，实现与 UniSwap 相当，甚至超过 UniSwap 的收益，是完全有可能的。

由 (3.3.4)(3.3.4) 也可导出：

γ= 1+α 1−α(3.3.5)\sqrt{\gamma} = \frac{\ 1+\alpha \ }{1-\alpha} \tag{3.3.5}

计算可得, 当 α\alpha = 3‰ 时，γ≈\gamma ≈ 1.0121‰ , 即 FreeSwap 协议如果在两个子交易池的价格偏离达到 1.21% 时进行套利操作，就可以实现与 UniSwap 的 3‰ 交易收费相同的收益。

不适用交易类型 #

由于 FreeSwap 交易协议依靠交易池价格偏离时的交易套利获得收益，因此 FreeSwap 不适用于两个交易对的代币均为稳定币的交易场景。稳定币的兑换交易需要尽量降低价格偏离，通过积累价格偏离，继而进行套利，不会有利于吸引稳定币的交易用户。

FreeSwap 交易协议也不适用于通缩型代币的交易对交易。由于套利操作会在两个子资金池之间进行代币互换，而通缩型代币的转账交易会造成代币通缩，不利于套利换入通缩型代币的一方子资金池，而且套利操作也会增加通缩型代币的转账交易次数，加速通缩，违背通缩型代币的设计初衷。