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套利机制公平性分析 #

套利机制公平性要求 #

从 AA 池、BB 池的流动性资金提供者的角度看，子交易对的资金调配，也即套利操作需要做如下公平性考虑：

  1. A池、B池必须都在套利操作中取得正向收益。一方收益、一方受损则有失公平，套利机制无法成立；

  2. A池、B池的套利收益需要合理平衡。一方收益大，另一方收益小，则套利机制也存在缺陷；

  3. A池、B池从各自的角度考虑，都希望自己在套利操作中收益最大化。套利机制的理想目标是同时实现两个交易池双方的收益最大化。

FreeSwap 交易协议的套利机制能够满足上述3点要求，即可以同时实现交易池双方的最大正向收益，并且双方受益相等。

套利机制公平性分析 #

套利操作的收益大小，可以通过套利操作前后，子交易对的 “恒定资产乘积” 的变化来衡量。下面对套利操作完成后，两个子交易对的 KK 值变化进行分析。

对于 AA 子交易对，套利后的K值变化为：

ΔKA=(NAA−LA)∗(NB+LB)−NAA∗NB=NAA∗LB−LA∗NB−LA∗LB=−PA→Be∗LA2+(NAA∗PA→Be−NB)∗LA=−PA→Be∗(LA−NAA−NB∗PB→Ae2)2+(NAA−NB∗PB→Ae)24∗PB→Ae(3.1.1)\begin{aligned} \Delta K_A &= ( N_{AA} - L_A ) * ( N_B + L_B ) - N_{AA} * N_B \\[1mm] &= N_{AA} * L_B - L_A * N_B - L_A * L_B \\[1mm] &= {-P}_{A \rightarrow B}^e * L_A^2 + ( N_{AA} * P_{A \rightarrow B}^e - N_B ) * L_A \\[1mm] &= {-P}_{A \rightarrow B}^e * \left( L_A - \frac{N_{AA} - N_B * P_{B \rightarrow A}^e}{2} \right)^2 + \frac{( N_{AA} - N_B * P_{B \rightarrow A}^e )^2}{4*P_{B \rightarrow A}^e} \end{aligned} \tag{3.1.1}

可见对于 AA 池，当 LA=LAML_A = L_A^M 时，KK 值增加最大，即 AA 池获得最大套利收益：

LAM=NAA−NB∗PB→Ae2=NAA∗NBB−NA∗NB2∗(NB+NBB)(3.1.2)\begin{aligned} L_A^M &= \frac{N_{AA} - N_B * P_{B \rightarrow A}^e}{2} \\[3mm] &= \frac{N_{AA}*N_{BB} - N_A*N_B}{2*(N_B + N_{BB})} \\ \end{aligned} \tag{3.1.2}

不难发现，关系式 (2.4.19)(2.4.19) 中的 LAeL_A^e 与 LAML_A^M 相等，即 FreeSwap 的套利机制可以实现 AA 池的最大 KK 值增加:

ΔKAM=(NAA−NB∗PB→Ae)24∗PB→Ae=(NAA∗NBB−NA∗NB)24∗(NA+NAA)∗(NB+NBB)(3.1.3)\begin{aligned} \Delta K_A^M &= \frac{( N_{AA} - N_B * P_{B \rightarrow A}^e )^2}{4*P_{B \rightarrow A}^e} \\[3mm] &= \frac{(N_{AA}*N_{BB} - N_A *N_B)^2}{4*(N_A+N_{AA})*(N_B+N_{BB})} \end{aligned} \tag{3.1.3}

类似地，对于 BB 子交易对，套利后的K值变化为：

ΔKB=(NBB−LB)∗(NA+LA)−NBB∗NA=NBB∗LA−LB∗NA−LA∗LB=−PB→Ae∗LB2+(NBB∗PB→Ae−NA)∗LB=−PB→Ae∗(LB−NBB−NA∗PA→Be2)2+(NBB−NA∗PA→Be)24∗PA→Be(3.1.4)\begin{aligned} \Delta K_B &= (N_{BB} - L_B) * (N_A + L_A) - N_{BB} * N_A \\[1mm] &= N_{BB} * L_A - L_B * N_A - L_A * L_B \\[1mm] &= {-P}_{B \rightarrow A}^e * L_B^2 + ( N_{BB} * P_{B \rightarrow A}^e - N_A ) * L_B \\[1mm] &= {-P}_{B \rightarrow A}^e * \left( L_B - \frac{N_{BB} - N_A * P_{A \rightarrow B}^e}{2} \right)^2 + \frac{( N_{BB} - N_A * P_{A \rightarrow B}^e )^2}{4*P_{A \rightarrow B}^e} \end{aligned} \tag{3.1.4}

同样对于 BB 池，当 LB=LBML_B = L_B^M 时，KK 值有最大增加值，即 BB 池获得最大套利收益：

LBM=NBB−NA∗PA→Be2=NAA∗NBB−NA∗NB2∗(NA+NAA)(3.1.5)\begin{aligned} L_B^M &= \frac{N_{BB} - N_A * P_{A \rightarrow B}^e}{2} \\[3mm] &= \frac{N_{AA}*N_{BB} - N_A*N_B}{2*(N_A + N_{AA})} \\ \end{aligned} \tag{3.1.5}

同样，关系式 (2.4.19)(2.4.19) 中的 LBeL_B^e 与 LBML_B^M 相等，即 FreeSwap 的套利机制可以实现 BB 池的最大 KK 值增加:

ΔKBM=(NBB−NA∗PA→Be)24∗PA→Be=(NAA∗NBB−NA∗NB)24∗(NA+NAA)∗(NB+NBB)(3.1.6)\begin{aligned} \Delta K_B^M &= \frac{( N_{BB} - N_A * P_{A \rightarrow B}^e)^2}{4*P_{A \rightarrow B}^e} \\[3mm] &= \frac{(N_{AA}*N_{BB} - N_A *N_B)^2}{4*(N_A+N_{AA})*(N_B+N_{BB})} \end{aligned} \tag{3.1.6}

比较 (3.1.3)(3.1.3) 、(3.1.6)(3.1.6) 以及 (2.4.19)(2.4.19)，可以发现：

ΔKBM≡ΔKAM≡LAe∗LBe(3.1.7)\Delta K_B^M \equiv \Delta K_A^M \equiv L_A^e*L_B^e \tag{3.1.7}

这意味着，FreeSwap 套利协议能够同时实现 AA 池、BB 池套利前后 KK 值增量最大化, 而且 AA 池、BB 池的 KK 值增量是完全相同的, 其值等于子资金池之间相互套利资产数量的乘积。

可见 FreeSwap 套利协议满足上面所述公平性原则。